矩阵的四个基本子空间贯穿整个线性代数，包含了矩阵的秩、维数、基等重要概念。
定义及性质
设AAA为m×nm\times nm×n矩阵，则：
列空间（Column space） C(A)={y∈Rm∣y=Ax}C(A) = \{y\in R^m|y = Ax\}C(A)={y∈Rm∣y=Ax}
行空间（Row space） C(AT)={y∈Rn∣y=ATx}C(A^T) = \{y\in R^n|y = A^Tx\}C(AT)={y∈Rn∣y=ATx}
零空间（Nullspace） N(A)={x∈Rn∣Ax=0}N(A) = \{x\in R^n|Ax = 0\}N(A)={x∈Rn∣Ax=0}
左零空间（Left nullspace） N(AT)={x∈Rm∣ATx=0}N(A^T) = \{x\in R^m| A^Tx = 0\}N(AT)={x∈Rm∣ATx=0}
基
C(A)C(A)C(A)：化为行阶梯矩阵，主元对应的AAA的列为基。
C(AT)C(A^T)C(AT)：化为行阶梯矩阵，主元对应的UUU的行为基。
N(A)N(A)N(A)：基础解系为基。
N(AT)N(A^T)N(AT)：EA=U0EA = U_0EA=U0，EEE的r+1→mr+1\to mr+1→m行为基。
证明：
可将矩阵A→U0=(IF00)A\to U_0 = \begin{pmatrix}I & F \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}A→U0=⎝⎛I0F0⎠⎞，前rrr行有主元，后m−rm-rm−r行是零向量。
即存在可逆矩阵EEE, EA=U0EA=U_0EA=U0，且(u1T...u1T)\begin{pmatrix}u_1^T\\\\ ...\\\\ u_1^T\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎛u1T...u1T⎠⎟⎟⎟⎟⎞。
则ur+1TA=0,...,umTA=0u_{r+1}^TA = 0,...,u_m^TA = 0ur+1TA=0,...,umTA=0，根据定义，即ur+1,...umu_{r+1},...u_mur+1,...um是N(AT)N(A^T)N(AT)的一组基。
例：求解矩阵的四个线性子空间
A=(135070001213519)→U0=(135070001200000),E=(100010−1−11)A = \begin{pmatrix}1 & 3 &5 & 0 &7 \\\\ 0 &0 & 0 & 1 &2 \\\\ 1&3 & 5 &1 &9 \end{pmatrix}\to U_0=\begin{pmatrix}1 & 3 &5 & 0 &7 \\\\ 0 &0 & 0 & 1 &2 \\\\ 0&0 & 0 &0 &0 \end{pmatrix},E = \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\\\ 0 &1 & 0 \\\\ -1&-1 & 1 \end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛101303505011729⎠⎟⎟⎟⎟⎞→U0=⎝⎜⎜⎜⎜⎛100300500010720⎠⎟⎟⎟⎟⎞,E=⎝⎜⎜⎜⎜⎛10−101−1001⎠⎟⎟⎟⎟⎞
行空间
s1=c1[13507]T,s2=c2[00012]Ts_1 = c_1\begin{bmatrix}1 &3 & 5 &0&7 \end{bmatrix}^T, s_2 = c_2\begin{bmatrix}0 &0 & 0 &1&2 \end{bmatrix}^Ts1=c1[13507]T,s2=c2[00012]T
列空间
s1=c1[101]T,s2=c2[011]Ts_1 = c_1\begin{bmatrix}1 &0 & 1 \end{bmatrix}^T, s_2 = c_2\begin{bmatrix}0 &1 & 1 \end{bmatrix}^Ts1=c1[101]T,s2=c2[011]T
零空间
s1=c1[−31000]Ts_1 = c_1\begin{bmatrix}-3 &1 & 0 &0&0 \end{bmatrix}^Ts1=c1[−31000]T
s2=c2[−50100]Ts_2 = c_2\begin{bmatrix}-5 &0 & 1 &0&0 \end{bmatrix}^Ts2=c2[−50100]T
s3=c3[−7−2001]Ts_3 = c_3\begin{bmatrix}-7 &-2 & 0 &0&1 \end{bmatrix}^Ts3=c3[−7−2001]T
左零空间
s1=c1[−1−11]Ts_1 = c_1\begin{bmatrix}-1 &-1 & 1 \end{bmatrix}^Ts1=c1[−1−11]T
维数
维数（dimension）是基中向量的个数，并且可以证明，任何两个基中向量个数一样多（反证法）。
直观感觉不难得到，当将矩阵AAA化简为U0U_0U0后，行空间和列空间的维数都等于主元的个数，也就等于矩阵的秩rrr。
而零空间的维数就等于基础解系的个数，因此为列数减去秩。
同理，左零空间为AAA的转置的基础解系的个数，因此等于ATA^TAT的列数减去秩。因此不难得到如下等式：
dimC(A)=rdim C(A) = rdimC(A)=r
dimC(AT)=rdimC(A^T) = rdimC(AT)=r
dimN(A)=n−rdimN(A) = n-rdimN(A)=n−r
dimN(AT)=m−rdimN(A^T) = m-rdimN(AT)=m−r
为什么dimC(A)=dimC(AT)=rdim C(A) = dimC(A^T) =rdimC(A)=dimC(AT)=r?
行空间维数是矩阵的主元(pivot)的个数，而当矩阵AAA消元转换为EA=REA=REA=R(简化行阶梯矩阵)，就是非零行的个数，也就是前rrr行，因此维数为rrr。
列空间维数是在消元之后，矩阵的列数减去自由变量的个数，由定义可知，自由变量为非主元的个数，因此列空间维数也等于主元的个数rrr。
因此，我们可以得到：独立列向量的个数等于独立行向量的个数。
维数公式
设VVV是一个向量空间，W1,W2W_1,W_2W1,W2是两个子空间，则W1∪W2W_1\cup W_2W1∪W2和W1+W2W_1 + W_2W1+W2是VVV的子空间，但W1∪W2W_1\cup W_2W1∪W2一般不是子空间。它们满足以下关系：
dimW1+dimW2=dim(W1∪W2)+dim(W1+W2)dimW_1 + dimW_2 = dim(W_1\cup W_2)+dim(W1+W2)dimW1+dimW2=dim(W1∪W2)+dim(W1+W2)
可以使用离散数学中的鸽巢原理证明，并学会应用求解W1∪W2W_1\cup W_2W1∪W2和W1+W2W_1 + W_2W1+W2。
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